Chapter 15: The Language of Reason: Math
第十五章：理性的语言：数学
Mathematics数学/ˌmæθəˈmætɪks/ is the extension of common sense常识/ˈkɒmən sɛns/ by other means. —Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong
数学mathematics - 用数字、符号等表达关系的学科是通过其他方式对常识common sense - 普通的理解能力的延伸。—约旦·埃伦伯格，《如何不犯错》
SUBJECT: Mathematics数学/ˌmæθəˈmætɪks/ and algebra代数/ˈældʒɪbrə/, grades年级/ɡreɪdz/ 5–8
TIME REQUIRED: 45 to 60 minutes分钟/ˈmɪnɪts/ per day天/deɪ/
学科：数学mathematics - 数字和计算的学科和代数algebra - 用字母代表数字的数学分支，年级grades - 学校的等级划分5-8
所需时间：每天day - 24小时的时间单位45到60分钟minutes - 时间单位，60分钟=1小时
During the logic stage逻辑阶段/ˈlɒdʒɪk steɪdʒ/, the study学习/ˈstʌdi/ of math数学/mæθ/ begins to move away远离/muːv əˈweɪ/ from the elementary-level focus on arithmetic算术/əˈrɪθmətɪk/ (understanding and carrying out mathematical operations运算/ˌɒpəˈreɪʃənz/ such as adding, subtracting, dividing, multiplying, and so on) to a wider understanding of mathematics数学/ˌmæθəˈmætɪks/ (how numbers and quantities and shapes relate to one another and explain the world).
在逻辑阶段logic stage - 强调逻辑思维的学习阶段，数学math - mathematics的简称的学习study - 获取知识的过程开始从小学阶段对算术arithmetic - 基本的加减乘除运算的专注（理解和执行数学运算operations - 数学中的计算方法，如加法、减法、除法、乘法等）转向move away - 从一个方向转到另一个方向对数学mathematics - 研究数量、结构、变化的学科的更广泛理解（数字、数量和形状如何相互关联并解释世界）。
Arithmetic算术/əˈrɪθmətɪk/ uses numbers数字/ˈnʌmbərz/; mathematics数学/ˌmæθəˈmætɪks/ also makes use of symbols符号/ˈsɪmbəlz/ and signs标记/saɪnz/ and proofs证明/pruːfs/. Algebra代数/ˈældʒɪbrə/, trigonometry三角学/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/, and calculus微积分/ˈkælkjələs/ are all branches分支/brɑːntʃɪz/ of mathematics; they depend, and build, on a strong understanding of arithmetic.
算术arithmetic - 基本的数字运算使用数字numbers - 表示数量的符号；数学mathematics - 更广泛的数量关系学科还使用符号symbols - 代表特定意思的标记、标记signs - 数学中的运算符号和证明proofs - 逻辑推理过程。代数algebra - 用字母代表数的数学、三角学trigonometry - 研究三角形的数学和微积分calculus - 研究变化率的高等数学都是数学的分支branches - 学科的不同部分；它们都依赖并建立在对算术的牢固理解基础上。
The broader focus焦点/ˈfoʊkəs/ on mathematics becomes possible可能的/ˈpɒsəbəl/ because the child's孩子的/tʃaɪldz/ mind思维/maɪnd/ is making the transition转变/trænˈzɪʃən/ from the mental image心理图像/ˈmentəl ˈɪmɪdʒ/ mode (picturing objects to go along with numerical symbols) to the symbolic符号的/sɪmˈbɒlɪk/ mode (using numerals alone).
对数学更广泛的关注focus - 注意力的中心变得可能possible - 能够实现的，因为孩子的child's - 属于孩子的思维mind - 大脑的思考能力正在从心理图像mental image - 头脑中的画面模式（想象物体配合数字符号）转变transition - 从一种状态变为另一种状态到符号symbolic - 用符号表示的模式（仅使用数字）。
Until this transition转变/trænˈzɪʃən/ is complete完成/kəmˈpliːt/, the abstract抽象的/ˈæbstrækt/ operations运算/ˌɒpəˈreɪʃənz/ demanded by pre-algebra预代数/priː ˈældʒɪbrə/ and algebra代数/ˈældʒɪbrə/ are impossible不可能的/ɪmˈpɒsəbəl/. A problem问题/ˈprɒbləm/ such as 9 × 2 simply requires you to picture想象/ˈpɪktʃər/ two sets of nine objects.
直到这种转变transition - 改变过程完成complete - 全部结束，预代数pre-algebra - 代数前的准备课程和代数algebra - 用符号代替数字的数学所要求的抽象abstract - 不具体的，概念性的运算operations - 数学计算都是不可能的impossible - 无法做到的。像9×2这样的问题problem - 需要解决的题目只需要你想象picture - 在脑中形成图像两组九个物体。
But a problem问题/ˈprɒbləm/ such as –5x = –15 requires you to deal with处理/diːl wɪð/ symbols符号/ˈsɪmbəlz/ that have no easily pictured reality现实/riˈæləti/ behind them. If I don't know what x is, how can I picture想象/ˈpɪktʃər/ it? And what mental image心理图像/ˈmentəl ˈɪmɪdʒ/ can I make of a negative number负数/ˈneɡətɪv ˈnʌmbər/?
但是像-5x = -15这样的问题problem - 数学题需要你处理deal with - 解决或应对背后没有容易想象的现实reality - 真实存在的事物的符号symbols - 代表概念的标记。如果我不知道x是什么，我怎么能想象picture - 在脑中看到它？我又能对负数negative number - 小于零的数形成什么心理图像mental image - 头脑中的画面？
HOW TO PLAN MIDDLE-GRADE MATH / 如何规划中学数学
Everything we said about math approaches数学方法/mæθ əˈproʊtʃɪz/ in Chapter 6 also applies to logic-stage逻辑阶段/ˈlɒdʒɪk steɪdʒ/ curricula课程/kəˈrɪkjələ/, so we won't repeat it all here. But if you haven't read Chapter 6, go back now and review the distinction between procedural程序性的/prəˈsiːdʒərəl/ and conceptual概念性的/kənˈseptʃuəl/ math.
我们在第6章中关于数学方法math approaches - 教学数学的不同方式的所有内容也适用于逻辑阶段logic-stage - 重视逻辑思维的学习时期的课程curricula - 教学计划和内容，所以我们不会在这里重复。但如果你还没有读第6章，现在回去复习程序性procedural - 按步骤操作的和概念性conceptual - 注重理解概念的数学之间的区别。
At the beginning开始/bɪˈɡɪnɪŋ/ of the logic stage, you should concentrate专注/ˈkɒnsəntreɪt/ on solidifying巩固/səˈlɪdɪfaɪɪŋ/ the student's understanding of, and skill技能/skɪl/ in, arithmetical operations算术运算/ˌærɪθˈmetɪkəl ˌɒpəˈreɪʃənz/. You'll begin to introduce介绍/ˌɪntrəˈduːs/ more abstract concepts抽象概念/ˈæbstrækt ˈkɒnsepts/: negative numbers负数/ˈneɡətɪv ˈnʌmbərz/, percentages百分比/pərˈsentɪdʒɪz/, probabilities概率/ˌprɒbəˈbɪlətiz/, and decimals小数/ˈdesɪməlz/.
在逻辑阶段的开始beginning - 起始阶段，你应该专注于concentrate - 把注意力集中在巩固solidifying - 使更牢固学生对算术运算arithmetical operations - 基本的数学计算的理解和技能skill - 熟练的能力。你将开始引入introduce - 第一次提出或教授更多抽象概念abstract concepts - 不具体的思想：负数negative numbers - 小于零的数、百分比percentages - 以100为基数的比率、概率probabilities - 事件发生的可能性和小数decimals - 带小数点的数字。
Increase the time spent doing word problems应用题/wɜːrd ˈprɒbləmz/ and move toward more complex复杂的/ˈkɒmpleks/ problems that require both logic逻辑/ˈlɒdʒɪk/ and abstract mathematical reasoning抽象数学推理/ˈæbstrækt ˌmæθəˈmætɪkəl ˈriːzənɪŋ/. Your curriculum课程/kəˈrɪkjələm/ should involve plenty of practice练习/ˈpræktɪs/—and no use of calculators计算器/ˈkælkjuleɪtərz/.
增加做应用题word problems - 用文字描述的数学题的时间，转向需要逻辑logic - 合理思维和抽象数学推理abstract mathematical reasoning - 用概念进行数学思考的更复杂complex - 有很多部分的问题。你的课程curriculum - 教学计划应该包含大量的练习practice - 重复训练——而且不使用计算器calculators - 自动计算的设备。
📚 Chapter Vocabulary / 本章词汇表
基础数学词汇 / Basic Mathematics Vocabulary
mathematics
/ˌmæθəˈmætɪks/
中文：数学
定义：研究数量、结构、变化和空间的学科
例句：Mathematics helps us understand the world through numbers and patterns.
algebra
/ˈældʒɪbrə/
中文：代数
定义：使用符号和字母代表数字的数学分支
例句：In algebra, we use letters like x and y to represent unknown numbers.
arithmetic
/əˈrɪθmətɪk/
中文：算术
定义：基本的数学运算，包括加减乘除
例句：Arithmetic includes basic operations like addition and subtraction.
operations
/ˌɒpəˈreɪʃənz/
中文：运算
定义：数学中的计算方法或过程
例句：Basic mathematical operations include adding, subtracting, multiplying, and dividing.
symbols
/ˈsɪmbəlz/
中文：符号
定义：代表特定意思或概念的标记
例句：Mathematical symbols like + and - represent different operations.
numbers
/ˈnʌmbərz/
中文：数字
定义：表示数量或位置的符号
例句：Numbers are the basic building blocks of mathematics.
学习概念词汇 / Learning Concepts Vocabulary
transition
/trænˈzɪʃən/
中文：转变
定义：从一种状态或方式变为另一种
例句：The transition from arithmetic to algebra requires abstract thinking.
abstract
/ˈæbstrækt/
中文：抽象的
定义：不具体的，概念性的，难以想象的
例句：Abstract concepts in math are harder to visualize than concrete objects.
concepts
/ˈkɒnsepts/
中文：概念
定义：思想或原则的基本理解
例句：Understanding mathematical concepts is more important than memorizing procedures.
logic
/ˈlɒdʒɪk/
中文：逻辑
定义：合理的思维方式和推理过程
例句：Logic helps students solve complex mathematical problems step by step.
curriculum
/kəˈrɪkjələm/
中文：课程
定义：学校或教育计划的学习内容
例句：A good math curriculum balances concept understanding with skill practice.
practice
/ˈpræktɪs/
中文：练习
定义：重复训练以提高技能
例句：Regular practice is essential for mastering mathematical skills.
高级数学词汇 / Advanced Mathematics Vocabulary
trigonometry
/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/
中文：三角学
定义：研究三角形角度和边长关系的数学分支
例句：Trigonometry is used in engineering and physics to calculate angles and distances.
calculus
/ˈkælkjələs/
中文：微积分
定义：研究变化率和累积的高等数学
例句：Calculus helps us understand how things change over time.
proofs
/pruːfs/
中文：证明
定义：用逻辑推理证实数学结论的过程
例句：Mathematical proofs show why certain statements are always true.
percentages
/pərˈsentɪdʒɪz/
中文：百分比
定义：以100为基数表示的比率
例句：Percentages help us compare parts to the whole, like test scores.
📊 Processing Statistics / 处理统计
- Total paragraphs processed / 处理段落总数: 8
- Keywords annotated / 标注关键词: 52
- Vocabulary cards created / 创建词汇卡片: 18
- Categories / 分类: 3 (基础数学词汇、学习概念词汇、高级数学词汇)
- Audio pronunciation ready / 语音发音就绪: ✅
- Responsive design / 响应式设计: ✅